Równanie Ficka- Prawa Dyfuzji

Postanowiłem wyprowadzić śladami pana Adolfa Ficka jego prawa dyfuzji, aby lepiej zrozumieć ten temat.
Natrafiłem na pewien artykuł z książki, który nieco przerobiłem i uprościłem na "swój język". Oto cały logiczny ciąg.

Mieszaninę płynów podczas zjawiska dyfuzji, jak zresztą każdy płyn można opisać posługując się tzw. sześcianem różniczkowym płynu. Jest to pojęcie dość abstrakcyjne, jednak, takowa mikroskopowa analiza pozwala na wyjaśnienie makroskopowych zależności. Jeżeli bowem układ jest różniczkowy to zmiany, posługując się językiem potocznym, są na tyle małe, że praktycznie nie zaburzają stabilności tego układu i można rozpocząć rozważania nad nim, bo warunki są pseudoustalone. Innymi słowy, przy tak mikrospokopwej analizie nic sie nie dzieje... w makroświecie jednak zachodza poważne zmiany.
Jednak do rzeczy...

... Modelowy sześcian rożniczkowy składa się z trzech ścian o wymiarach geometrycznych odpowiednio:
- dla ścian pionowych: 2dy
- dla ścian poziomych (w płaszczyśnie ekranu): 2dy
- dla ścian ukośnych (wgłąb ekranu): 2dz
Sześcian ten ma wierzchołki odpowiednio oznaczone ABCD oraz A`B`C`D`. Jeżeli w sześcianie tym zachodzi dyfuzja nalezy rozpatrzeć wszystkie, siły dyfuzyjne działające na każdą ze ścian sześcianu, a w zasadzie wszystkie zewnętrzne i wewnętrzne zjawiska zmieniające skład w układzie.
Rozpatrując o zmiany w osi x, możemy zapisać strumień dyfuzyjny masy dopływający do ściany ABCD:

Przez w, rozumiemy prędkość masową dyfuzji w kmol/m^2*s. Prędkość ta jest uniwersalna ponieważ jest niezależna od powierzchni przepływu substancji dyfundujących oraz czasu dyfuzji. Ponieważ posługujemy się różniczkową prędkością masową, jej zmiana w czasie praktycznie nie następuje. Prędkość ta wymnożona przez powierzchnie dyfuzyjną będzie miała wymiar strumienia molowego, a w zasadzie molowego strumienia dyfuzji.
Z drugiej strony sześcianu dyfuzyjny strumień molowy wygląda następująco:

Przechodzi on przez płaszczyznę A`B`C`D`.
Jak widać strumień dyfuzyjny przechodząc przez sześcian płynu, zostawia "nieco" masy w jego środku (Właśnie to nazywamy dyfuzją). Można zatem zapisać prawo bilansu i zobaczyć "ile" strumienia zostało w środku. Wiadomo, że różnice między dopływem, a odpływem stanowi akumulacja:

Występowanie różniczki niezupełnej wskazuje uważenemu czytelnikowi, że jest ona tylko składową na pewnej płaszczyźnie. Logicznym jest oczywiście, że występują jeszcze dwa strumienie dyfuzyjne działajace na każdą płaszczyznę. Sumarycznie dostajemy trzy równania na każdą z płaszczyzn:

W tym momencie, zaczyna się zupełnie nowe podejście do rozważań i wprowadzamy dodstkową wiadomość która spaja wszytko w jedną całość. Mianowicie, należy zauważyć że w omawianym sześcianie skutkiem zmiany strumienia dyfuzyjnego na długości jest zmiana stężenia w czasie. Poza tymi zmianami na czterech elementach czasoprzestrzeni nic więcej się nie zmiania. Zatem bilansując zmiany w układzie można zapisać

Wynika z tego, że pochodna stężenia po czasie jest proporsjonalna do ujemnego gradientu prędkości masowych po wszystkich wymiarach przestrzennych.
Założenie teorii Ficka opiera sie na proporcjonalności prędkości masowej w każdej z płaszczyzn do ujemnego gradientu stężenia po czasie.

Po uwzględnioniu tej zależności w poprzednim wzorze, otrzymujemy:

Jest to najbardziej ogólna postać prawa Ficka. Uwzględnia ona zmienność strumieni dyfuzyjnych, jak również zmienność stałej dyfuzji (stała dyfuzji może być funkcją x,y,z oraz stężenia), a także dyfuzję we wszystkich płaszczyznach. Kolejne przekształcenia doprowadzają nas do postaci skróconych i pewnych szczególnych przypadków:
Następująca postać, zakładająca stałą dyfuzyjność z czasem i wymiarami geometrycznymi. W praktyce oznacza to homogeniczność składu mieszaniny dyfuzyjnej.

Kolejne uproszczenie polega na założeniu, że dyfuzja zachodzi tylko w jednej płaszczyźnie. Prowadzi to do wzoru, który jest powszechnie znany jako drugie prawo dyfuzji Ficka:

Jeżeli natomiast założyć, że prędkość masowa dyfuzji (strumień dyfuzyjny) jest stały w czasie, czyli że rozkład stężenia na drodze dyfuzji jest niezmienny, w trakcie trwania dyfuzji, otrzymujemy:

Co po scałkowaniu nazywane potocznie jest pierwszym prawem Ficka.